Ti-tallsystemet
Ti-tallsystemet er et posisjonssystem. Posisjonen til sifferet viser om det er et ener-siffer, tier-siffer, hundre-siffer osv. I tallet 348 betyr 3-tallet 300, 4-tallet 40 og 8-tallet 8.
102 er en potens med 10 som grunntall og 2 som eksponent
10 er det samme som 101
100 er det samme som 102 (10 • 10)
1000 er det samme som 103 (10 • 10 • 10)
Tallet 1 kan skrives som en potens med et hvilket som helst grunntall så lenge eksponenten er null.
Altså er 100 =1
10-tallsystemet har ti siffer (0-9) og har ti som grunntall. Her er tallene 0, 1, 2, 3, 10, 11 og 348:
0 = 0•100 = 0•1 = 0
1 = 1•100 = 1•1 = 1
2 = 2•100 = 2•1 = 2
3 = 3•100 = 3•1 = 3
…
10 = 1•101 + 0•100 = 1•10 + 0•1 = 10 + 0 = 10
11 = 1•101 + 1•100 = 1•10 + 1•1 = 10 + 1 = 11
…
348 = 3•102 + 4•101 + 8•100 = 3•100 + 4•10 + 8•1 = 300 + 40 + 8 = 348
To-tallsystemet
To-tallsystemet er et posisjonssystem på samme måte som ti-tallsystemet. Posisjonen til sifferet viser om det er et ener-siffer, toer-siffer, firer-siffer osv.
21 er en potens med 2 som grunntall og 1 som eksponent
2 er det samme som 21
4 er det samme som 22 (2 • 2)
8 er det samme som 23 (2 • 2 • 2)
Tallet 1 kan skrives som en potens med et hvilket som helst grunntall så lenge eksponenten er null.
Altså er 20 =1
2-tallsystemet har 2 siffer (0-1) og har 2 som grunntall. For å markere om tallet er i to-tall- eller ti-tall-systemet setter vi på en indeks nede ved foten av tallet. 102 er i to-tallsystemet, 1010 er i ti-tallsystemet. Her er tallene fra 0-7:
0: 02 = 0•20 = 0•1 = 010
1: 12 = 1•20 = 1•1 = 110
2: 102 = 1•21 + 0•20 = 1•2 + 0•1 = 2 + 0 = 210
3: 112 = 1•21 + 1•20 = 1•2 +1•1 = 2 + 1 = 310
4: 1002 = 1•22 + 1•21 + 0•20 = 1•4 + 0•2 + 1•1 = 4 + 0 + 0 = 410
5: 1012 = 1•22 + 0•21 + 0•20 = 1•4 + 0•2 + 1•1 = 4 + 0 + 1 = 510
6: 1102 = 1•22 + 1•21 + 0•20 = 1•4 + 1•2 + 0•1 = 4 + 2 + 0 = 610
7: 1112 = 1•22 + 1•21 + 1•20 = 1•4 + 1•2 + 1•1 = 4 + 2 + 1 = 710
1001101 har sju siffer. Det første sifferet multipliseres med 26 det siste sifferet multipliseres med 20. Det er et ett-tall på plass nr 6, 4, 3 og 0. Vi gjør om til ti-tallsystemet:
26 + 24 + 23 + 20 = 2•2•2•2•2•2 + 2•2•2•2 + 2•2•2 + 1 = 64 + 16 + 1 = 81
11111 har fem siffer. Det første sifferet multipliseres med 24 det siste sifferet multipliseres med 20. Det er ett-tall på alle plassene.
Vi gjør om til ti-tallsystemet: 24 + 23 + 22 + 21+ 20 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
Nå ser du hvordan du teller til 29 med én hånd!
Bøyd finger betyr null, strukket finger betyr én.
På høyre hånd med tommel pekende til høyre:
0: knyttet neve (0)
1: kun tommel (1)
2: kun pekefinger (10)
3: pekefinger og tommel (11)
4: kun langfinger (100)
5: langfinger og tommel (101)
6: langfinger og pekefinger (110)
7: langfinger, pekefinger og tommel (111)
8: kun ringfinger (1000)
…
16: kun lillefinger (10000)
…
31: alle fingrene på én hånd (11111)
…
255: åtte fingre/bits (11111111). 0-255 gir 256 ulike tall. Historien om 256
Heksadesimalt tallsystem
Det heksadesimale tallsystemet består av 16 tegn. Posisjonen til tegnet viser om det er et ener-siffer, 16-siffer, 256-siffer (162) osv.
161 er en potens med 16 som grunntall og 1 som eksponent
16 er det samme som 161
256 er det samme som 162 (16 • 16)
4096 er det samme som 163 (16 • 16 • 16)
Tallet 1 kan skrives som en potens med et hvilket som helst grunntall så lenge eksponenten er null.
Altså er 160 =1
Det heksadesimale tallsystemet har 16 ulike siffer (0-F) og har 16 som grunntall. Fordi tallene kan bestå av er 16 ulike siffer må tallene 10, 11, 12, 13 og 15 (i ti-tallsystemet) vises med andre symboler enn tall. Husk at null er det første sifferet og at 9 er det tiende sifferet. Deretter bruker vi A for det ellevte siffer (1010) , B for det tolvte siffer (1110), C for det trettende siffer (1210), D for det fjortende siffer (1310), E for det femtende siffer(1410) og F for det sekstende siffer (1510).
For å markere om tallet er i 16-tall- eller ti-tall-systemet setter vi på en indeks nede ved foten av tallet. 1010 er i ti-tallsystemet, 1016 er i 16-tallsystemet.
0: 016 = 0•160 = 0•1 = 010
1: 116 = 1•160 = 1•1 = 110
2: 216 = 2•160 = 2•1 = 210
…
9: 916 = 9•160 = 9•1 = 910
10: A16 = 10•160 = 10•1 = 1010
11: B16 = 11•160 = 11•1 = 1110
…
15: F16 = 15•160 = 15•1 = 1510
16: 1016 = 1•161+ 0•160 = 16 + 0 = 1610
17: 1116 = 1•161+ 1•160 = 16 + 1 = 1710
…
25: 1916 = 1•161+ 9•160 = 16 + 9 = 2510
26: 1A16 = 1•161+ 10•160 = 16 + 10 = 260
…
35: 1F16 = 1•161+ 15•160 = 16 + 15 = 3110
36: 2016 = 2•161+ 0•160 = 32 + 0 = 3210
…
255: FF16 = 15•161+ 15•160 = 240 + 15 = 25510
256: 10016 = 1•162 + 0•161+ 0•160 = 256 + 0 + 0 = 25610
…
4096: 11116 = 1•162 + 1•161+ 1•160 = 256 + 16 + 1 = 409610
…
4094: FFE16 = 15•162 + 15•161+ 14•160 = 3840 + 240 + 14 = 409410
4095: FFF16 = 15•162 + 15•161+ 15•160 = 3840 + 240 + 15 = 409510
4096: 100016 = 1•163 + 0•162 + 0•161+ 0•160 = 4097 + 0 + 0 + 0 = 409610
Babylonernes 60-tallsystem med kileskrift
Babylonerne brukte 60-tallsystemet (seksagesimalt) De brukte kileskrift der enden av en pinne ble trykket ned i leire enten horisontalt (1) eller vertikalt (10) slik at det ble dannet avlange kileformede merker. De brukte kombinasjoner av tegnene for 1 og 10 og satte sammen det rette antallet av hvert tegn for å få tall fra 1 og opp til 59. Fra 60 begynte de på nytt, slik vi gjør når vi kommer til 10.
matematikk.org
De hadde ikke noe tegn for null. I stedet lot de det være en tom plass som representerte null, logisk nok: «ingenting». Tegnet for 60 og tegnet for 1 er derfor identiske. Begge er én vertikal kile. 61 er derfor to vertikale kiler på samme måte som 2 også er to vertikale kiler. Hvordan skille 61 fra 2? Det gjøres ved å sette inn et mellomrom: to vertikale kiler med litt avstand mellom. Så kan man spørre seg hvordan de skrev nøyaktig 60. Hvordan markere at det er et tomrom bak kilen når det ikke er andre kiler? Hvordan vil vi kunne skille 1 fra 10 om vi ikke hadde hatt et tegn for null?
Babylonsk tallsystem, Bernt Øksendal: matematikk.org
Det urgamle 60-tallet: forskning.no
Tall og tallsystemer. Bernt Øksendal. Gyldendal 1991. Kapittel 4 side 9: Babylonsk matematikk.